Índexs de Miller

Cuprit La foto de Cuprite, a dalt, mostra tres formes: {100}, {101}, {111}.

Què és un formulari? Com es relacionen els índexs de Miller amb els formularis? Què és una cara? Quins són els índexs de Miller per a cada cara que podeu veure?
Les respostes es troben al final o al final d'aquest article.

---

Els índexs de Miller solen ser un misteri per als col·leccionistes de minerals. No cal que ho siguin, perquè són bastant simples en concepte (si no en matemàtiques). En aquest article, presentarem un enfocament conceptual i ignorarem les matemàtiques.

Al segle XIX, la goniometria (la mesura dels angles dels cristalls) era una part important de la mineralogia. Com que les tecnologies per analitzar minerals mitjançant la química estaven en la seva infància, hi havia la necessitat d'identificar les diferents cares dels cristalls com a mitjà per identificar el mineral en si. El 1839 William Miller, un mineralogista britànic, va proposar el seu sistema d'indexació. S'havien proposat altres sistemes per aconseguir el mateix objectiu, però eren difícils de manejar. Miller va desenvolupar el seu sistema com una millora i una simplificació. Els índexs de Miller van ser àmpliament acceptats i segueixen sent importants per a la ciència de la cristal·lografia actual. Descriuen no només la relació de les cares del cristall amb els eixos cristal·logràfics, sinó també la relació, tal com revelen els raigs X, dels plans atòmics interns amb els eixos, la cèl·lula unitat i, finalment, les cares del cristall.

Pla de la unitat
1. Tots els plans que són cares de cristall es poden relacionar d'una manera senzilla amb els eixos del cristall per una Pla de la unitat , que s'il·lustra a la dreta pel triangle transparent (recordeu que aquest és un pla en un espai tridimensional). (Feu clic a la imatge per ampliar-la.)

2. El pla unitari intercepta cadascun dels eixos del cristall en a Distància de la unitat . La distància de la unitat és 1 (un).

3. Excepte en el sistema isomètric, les distàncies unitats en diferents eixos poden tenir diferents longituds absolutes. (és a dir, 1 a l'eix a pot ser i normalment és una longitud absoluta diferent de l'1 a l'eix c). Les distàncies unitàries en eixos i angles axials estan limitades per simetria.

4. Les distàncies relatives de les unitats s'anomenen com a Relació axial del cristall. (per exemple, en la barita, un mineral ortorròmbic, la relació axial és a:b:c = 1,628 : 1 : 1,312 . L'eix a és el més llarg mentre que l'eix b és el més curt.

5. Tots els plans que són cares de cristall i que intercepten els eixos cristal·logràfics, es poden representar per fer-ho bé a una distància unitat, o amb algun valor fraccionari de la distància unitat.

231 Avió
Els índexs de Miller són una sèrie de números que relacionen la cara del cristall particular amb el pla de la unitat dels eixos cristal·logràfics. En tots els sistemes de cristall trigonal i hexagonal, els índexs són de tres dígits a, b, c ordre. En els sistemes trigonal i hexagonal tenen quatre dígits a ₁ , a ₂ , a ₃ , c ordre. Un índex és un dígit, els índexs són el conjunt de tres o quatre dígits.

Els índexs de Miller del pla de la unitat són (111), llegit com 'un, un, un', no 'cent onze'.

Una intercepció en un eix sempre és 1 o menys. Per raons matemàtiques que estem evitant, quan hi ha una intercepció ½ la distància unitat en un eix, l'índex de Miller és 2 . Si la intercepció és ⅓ l'índex és 3 . En altres paraules, l'índex de Miller de la intercepció en un eix és el recíproc de la fracció de la distància unitat. Si les intercepcions a l'eix a = ½, a l'eix b = ⅓ i a l'eix c = 1, els índexs d'aquesta cara són (231). (Feu clic a la il·lustració de la dreta per ampliar-la.)

Si el pla de la cara és paral·lel a un eix i no l'intercepta, l'índex d'aquest eix és 0 . Així, una cara que intercepta l'eix a a 1, l'eix b a 1 i és paral·lela a l'eix c té índexs de Miller de (110). Si la cara només intercepta l'eix a en 1 i és paral·lela a b i c, els índexs són (100).

Si la cara del cristall intercepta l'extrem negatiu de qualsevol eix, es col·loca una barra sobre l'índex d'aquest eix. Per exemple, quan les interceptes d'una cara són a = 1, b = 1 i c = -1, els índexs de Miller d'aquesta cara són (11 1 ), llegiu com a '0ne, one, bar one'.

El mateix pla de la unitat és sovint visible en un cristall. És la cara que talla la cantonada frontal superior dreta d'un cub (orientada a mesura que esteu veient una cara frontal quadrada) o una cantonada similar sobre cristalls tetragonals, ortoròmbics o monocolínics. Té índexs de (111) . En teoria, totes les altres cares del cristall s'indexen a partir d'aquest.

Piràmide hexagonal
La cara que es mostra a la dreta, en els quatre eixos dels sistemes hexagonal i trigonal, és una piràmide amb els índexs de Miller de (10 1 1). Estaria directament a sobre de la cara del prisma, (10 1 0). El tercer número és sempre la suma dels dos primers números multiplicada per -1 (per exemple, sumeu les dues primeres xifres i canvieu el signe). Observeu els signes direccionals dels eixos a. Resultan d'un angle de 120 ^O entre eixos a, no 60 ^O .

Resum

1. Els índexs de Miller són de tres dígits a, b, c ordre; o en els sistemes de cristall hexagonals o trigonals de quatre dígits a ₁ , a ₂ , a ₃ , c ordre.
2. Si un índex és 0 aleshores el pla de la cara del cristall és paral·lel a l'eix respectiu. La cara (110) és paral·lela a l'eix c.
3. El valor d'un índex sempre és un nombre enter, 1, 2, 3, 4, 5 o superior (més alt és molt inusual).
4. Una barra sobre un índex indica que la intercepció es troba a l'extrem negatiu de l'eix respectiu. Cara ( 1 10) intercepta l'extrem negatiu (darrera) de l'eix a.
5. Com més gran sigui el valor d'un índex, menor serà l'angle entre la cara i aquest eix.


Fluorita Figura 1.

Commuta
Línies de vora | Índexs de Miller | Destrals

Transparència
Opac | Translúcid | Transparent

Veure
Al llarg de l'eix a | Al llarg de l'eix b | Al llarg de l'eix c

{100}
Haüy, 1801, i altres. En: V.M. Goldschmidt, Atlas der Krystallformen, 1913-1923.

1. Orienteu el model amb els paràmetres següents: Índexs de Miller: ON, Eixos: ON, Transparència: OPACA, Vista: AL LONG A-AXIS.

2. Col·loqueu el cursor b de l'eix b, manteniu premut el botó esquerre del ratolí i moveu-vos lentament recte pel centre del model.

A mesura que apareix cada cara nova, pots explicar els índexs de Miller per a la cara?

3. Feu clic Al llarg de l'eix a (per quadrar la imatge del model). Repetiu els passos 2 però amb el cursor a c de l'eix c i estirant recte cap avall.

Proveu la vostra habilitat amb alguns altres hàbits de fluorita (recordeu activar els índexs de Miller i els eixos):

A la figura 2, quina cara és el pla de la unitat i com es relaciona amb les altres set cares?

Fluorita Figura 2.

Commuta
Línies de vora | Índexs de Miller | Destrals

Transparència
Opac | Translúcid | Transparent

Veure
Al llarg de l'eix a | Al llarg de l'eix b | Al llarg de l'eix c

{111}
Haüy, 1801, i altres. En: V.M. Goldschmidt, Atlas der Krystallformen, 1913-1923.

A la figura 3, si enteneu la simetria, examineu la distribució dels índexs a cada costat dels plans mirall i al voltant dels eixos de rotació de 4 i 3 vegades.

Fluorita Figura 3.

Commuta
Línies de vora | Índexs de Miller | Destrals

Transparència
Opac | Translúcid | Transparent

Veure
Al llarg de l'eix a | Al llarg de l'eix b | Al llarg de l'eix c

{110}
Haüy, 1801, i altres. En: V.M. Goldschmidt, Atlas der Krystallformen, 1913-1923.

A la figura 4, les vores bisellades de les cares quadrades tenen 5 cares paral·leles; comproveu les propietats sumatives dels índexs de Miller de cares adjacents. Com es relacionen les cinc cares entre si? Observeu que la tríada de cares a cada cantonada del cub compareu els índexs entre si i amb les altres cares amb les quals contacten.

Fluorita Figura 4.

Commuta
Línies de vora | Índexs de Miller | Destrals

Transparència
Opac | Translúcid | Transparent

Veure
Al llarg de l'eix a | Al llarg de l'eix b | Al llarg de l'eix c

{100}, molt modificat
Localitat: Badenweiler, Baden, Alemanya
Braun, 1837. A: V.M. Goldschmidt, Atlas der Krystallformen, 1913-1923. (S'han omès cares d'una forma sense índexs (probablement {321}))

A la figura 5, feu el mateix amb aquest model. Observeu que, orientat a l'eix a, 221 + 22 1 = 440. 440 no és 110, però 440 i 110 són plans paral·lels. Quan es considera la morfologia del cristall, els plans atòmics apilats tenen tots els mateixos índexs, en aquest cas 440. és 110.

Fluorita Figura 5.

Commuta
Línies de vora | Índexs de Miller | Destrals

Transparència
Opac | Translúcid | Transparent

Veure
Al llarg de l'eix a | Al llarg de l'eix b | Al llarg de l'eix c

{110}, {221}, {111}
Breithaupt, 1841. A: V.M. Goldschmidt, Atles de formes de cristall, 1913-1923.


Potser us heu adonat que els índexs de Miller al text estan tancats entre parèntesis, (110). Aquesta és una convenció comuna per a una cara de cristall, però no sempre se segueix. Les formes i les zones també es designen mitjançant índexs de Miller, i es diferencien a la impressió pels seus propis claudàtors. Un formulari està tancat entre claus, {110}, i una zona entre claus: [110].

Almandina

A cara de cristall és una superfície plana o plana que limita un cristall i que no es forma per contacte o interferència d'un altre cristall o superfície.

Es considera que una cara és infinita en la seva extensió. La forma que veiem està limitada per la seva intersecció amb les cares circumdants.

Un granat sovint mostra 12 cares en forma de rombes, una de les quals té els índexs de Miller, (101). Com podeu deduir, el (101) talla el a ₁ i a ₃ eixos a distàncies unitat i és paral·lel al a ₂ eix. Com es mostra, a dalt, la cara vertical en forma de diamant al davant s'indexaria com a (101). La cara a la seva esquerra, (0 1 1). La cara darrere (per sobre) seria ( 1 01).

A forma de cristall és un conjunt de cares que tenen totes la mateixa relació amb els eixos cristal·logràfics.

En un cristall ideal, o perfectament format, si existeix una cara d'una forma, els eixos de rotació i els plans mirall requereixen que totes les cares de la forma existeixin. Per exemple, si trobeu una cara ròmbica que talla dos eixos i paral·lela al tercer eix en un cristall del sistema cúbic, la simetria exigeix ​​que n'hi hagi d'onze més. La simetria requereix un total de dotze cares per a la forma cúbica {101}, el dodecaedre rombic.

Els índexs de Miller d'una forma es prenen d'una cara de l'octant frontal superior dret o davant del cristall.

A zona cristal·logràfica està definit pel seu eix i és una direcció. Els índexs de Miller de la zona són els de la cara que és perpendicular a l'eix de la zona.

Andalusite Normalment, una zona es reconeix per un conjunt de cares que es tallen amb arestes paral·leles i que envolten o envolten parcialment un eix. No cal que les cares tinguin la mateixa forma. En el sistema ortorròmbic s'enfronta (010), (011), (001), (0 1 1), (0 1 0),(0 1 1 ), (00 1 ), i (01 1 ) envolten l'eix de la zona [100] , que també és l'eix a. Les quatre cares, (011), (0 1 1), (0 1 1 ), i (01 1 ) són la forma {011} i quan s'estenen, per si mateixos, envolten l'eix a per constituir una zona. No us preocupeu massa per les zones, són molt més interessants per als cristal·lògrafs matemàtics que per als col·leccionistes de minerals (tot i que és possible que trobeu el terme a la literatura).

Nota: El cristall d'Andalucita a la dreta és ortorròmbic i s'orienta amb l'eix c vertical, l'eix b horitzontal i d'esquerra a dreta i l'eix a de davant a darrere. L'eix c és un eix de zona (també ho són l'eix a i l'eix b, però sense una terminació inferior, això no es pot veure al cristall mostrat).


Hi ha moments en què volem generalitzar els índexs de Miller en lloc de ser específics. En aquests casos, h es substitueix per l'índex de l'eix a, k per a l'índex de l'eix b, i l per a l'índex de l'eix c. Aleshores, els índexs generals de qualsevol cara són ( hkl ). Si volem especificar totes les cares paral·leles a l'eix a, els índexs generals són (0 a les ); paral·lel a l'eix b, ( h 0 l ); o paral·lel a l'eix c, ( HK 0).

En els sistemes de cristall trigonal i hexagonal, an i s'insereix per generalitzar el tercer dígit. Els índexs generalitzats per a aquests sistemes són ( hkil ).



Com més gran sigui el valor d'un índex en un eix determinat, més pronunciada serà la inclinació de la cara cap a aquest eix.

El resultat d'afegir els índexs de cares separades per una tercera cara a la mateixa zona són sempre els índexs d'una possible cara. Quan hi ha tres cares contigües a la mateixa zona (que es troben amb arestes paral·leles), els índexs de Miller de la cara mitjana són molt probablement la suma dels índexs de les cares a banda i banda. Per exemple, si els índexs de les cares entre parèntesis són (100) i (010), és probable que la cara mitjana sigui (110). Si els índexs de Miller de les dues cares de parèntesis són (221) i (22 1 ), els índexs més probables per a la cara entre ells són (440); però 440 és un pla paral·lel a 110, que és la cara intermèdia. Tots els plans paral·lels tenen els mateixos índexs, i són els més senzills possibles: 100, 200, 300 són tots 100; 111, 222, 333 són tots 111; etc.

En els sistemes de cristall hexagonal i trigonal, els índexs de Miller han estat tradicionalment de quatre dígits, com (10 1 1). Tots dos sistemes es poden representar en un model de tres dígits, però el model de quatre dígits és possiblement més fàcil de visualitzar. El tercer dígit és redundant i els cristal·lògrafs actuals estan canviant al sistema de tres dígits. El valor del tercer dígit és sempre la suma negativa dels dos primers dígits. Si els índexs d'una cara són (10 1 1) llavors es deixa caure el tercer dígit i es converteixen en (101). Si els cristalls en qualsevol d'aquests sistemes es descriuen mitjançant índexs de Miller de 3 dígits, i preferiu el sistema de 4 dígits, només sumeu els dos primers dígits dels índexs i inverteixi el signe per obtenir i inserir el tercer dels quatre índexs.



El relació axial per a un cristall són les dimensions relatives de la cel·la unitat.
Per a la cerussita, un mineral ortorròmbic, la relació axial és a:b:c = 0,61 : 1 : 0,723 . És a dir, en longituds absolutes l'eix a de la unitat és 0,61 vegades la longitud de l'eix b de la unitat i l'eix c de la unitat és 0,723 vegades la longitud de l'eix b de la unitat. L'eix b és el més llarg i l'eix a és el més curt.

Les dimensions d'un cristall són sovint inverses a les dimensions de la cel·la unitat. Si l'eix c és la dimensió més curta de la cel·la unitat, sovint serà la dimensió més llarga del cristall real.



Si hauríeu de tenir un cristall sobre el qual voleu indexar les cares, la primera tasca és decidir com orientar el cristall i després assignar els eixos cristal·logràfics. Això normalment vol dir que heu de decidir a quin dels set sistemes de cristalls pertany el vostre exemplar (la simetria pot ser una gran ajuda). A continuació, orienta el cristall. Si hi ha una dimensió llarga, sol ser l'eix c i es col·loca en posició vertical. Molt sovint l'eix b és més llarg que l'eix a i és horitzontal, d'esquerra a dreta. Els sistemes tetragonal, trigonal i hexagonal presenten un problema d'orientació. Molt sovint, però no sempre, els eixos a surten de les vores de les cares del prisma, no del centre de la {100}. Amb un cristall mineral desconegut, tret que la terminació proporcioni una pista, el millor que podeu fer és endevinar (amb més informació sempre podeu canviar-ho).
Cares de cristall comuns
La segona tasca és dibuixar el vostre cristall. Fes un mapa de la terminació superior. A continuació, intenteu dibuixar una vista obliqua en 3D del cristall.

Hi ha certes formes que són persistents a través dels sistemes cristal·lins. El formulari {100} o el ( a ) cara, és gairebé universal. El {001}, o ( c ) cara, i el {010}, el ( b ) cara, són gairebé tan comuns. La forma d'unitat {111} que retalla les cantonades, quan està present, sol ser fàcil de veure. i el {110}, o ( m ) cara, és molt comú, amb vores verticals bisellades. Busca'ls. I si els trobeu, assigneu els índexs i escriviu-los als vostres dibuixos.

A continuació, utilitzant el que sabeu de les relacions entre els índexs de cares adjacents, feu una endevinació dels índexs de les cares intervingudes,

Fins que no trobeu un dibuix per al vostre cristall en un llibre de consulta o a la xarxa, no tindreu res millor, i quan trobeu que la vostra anàlisi és correcta, bé, és una sensació molt satisfactòria.

---

Cuprite (feu clic a la foto per ampliar-la).
1. Primer orientarem el cristall. És essencialment igual en totes les dimensions. Cada punt es troba en un eix de simetria de 4 vegades, i n'hi ha més d'un, de manera que el cristall es troba en el sistema isomètric (cúbic). Farem l'eix des del punt del centre de la foto fins a la part posterior (no vist) el a ₁ eix. El a ₂ l'eix anirà de dreta (+) a esquerra (-). I la a ₃ l'eix és de dalt (+) a baix (-), inclinat lleugerament cap a la dreta a la part superior.

2. La petita cara ortogànica de la part davantera del cristall (centre de la foto) és un rectangle a causa del creixement desigual. La forma ideal de la forma és quadrada. La forma és la {100}, la forma cúbica. La cara és el (100).

3. Les grans cares triangulars es tallen cadascuna vora de la cara cúbica rectangular. Són la forma [111}, la forma octaèdrica. Assignarem la cara brillant de la dreta com a (111); la cara de dalt a l'esquerra és el (1 1 1); la cara molt fosca de la part inferior esquerra és la (1 1 1 ); i la cara lleugerament ombrejada a la part inferior és la (11 1 ).

3. Les cares estretes que biselan les vores entre les cares triangulars són les {101). La cara que bisella la vora entre el (111) i el (11 1 ) és el (110). Es talla el a ₁ i a ₂ , però no el a ₃ . La cara prima que es pot veure a la vora superior dreta del cristall és la (011). El (101) es troba a la vora esquerra del (111). Quins són els índexs de la cara entre el (1 1 1) i el (1 1 1 )?

---